вторник, 19 апреля 2016 г.

К уроку алгебры. Математический аукцион.

Пусть даны два числа а и b, причем а = 1,5 b
Умножим обе части уравнения на 4 и получим:
4а = 6b.
Представим левую часть в виде: 4а = 14а – 10а и правую: 6b = 21b – 15b.
14а – 10а = 21b – 15b
15b – 10a = 21b – 14a
5(3b – 2a) = 7(3b – 2a).
Разделим обе части полученного уравнения на 3b – 2a.
Получили, что 5 = 7.
Найдите ошибку.
----------------------------------------------------------------------------------------------------
•     1. Останутся ли верными формулы сокращенного умножения, если в них вместо букв a, b, ... подставить любые целые выражения?
•     2. Для чего применяются формулы сокращенного умножения?
•     3. Какими способами можно разложить многочлен на множители?
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Решить уравнение
x2 + 2х + 1 = 0
---------------------------------------------------------------------------------------------------
 Решить уравнение
4x2 – 4х + 1 = 0
 ---------------------------------------------------------------------------------------------------
Решить уравнение
x2 – 25 = 0
 ---------------------------------------------------------------------------------------------------
Решить уравнение
х3 – 27 = 0
---------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Решить уравнение
x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0
 ----------------------------------------------------------------------------------------------------
Разложить на множители
x4 + 3x2 + 2
 ----------------------------------------------------------------------------------------------------
Разложить на множители
 (x + y) + (x + y)2 + (x + y)3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Разложить на множители
 x16 – у16
 ----------------------------------------------------------------------------------------------------
Задача Диофанта: доказать, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма двух квадратов, само представляется в виде суммы двух квадратов, т. е.
(a2 + b2)(с2 + d2) = (ас + bd)2 + (bс – ad)2
 ----------------------------------------------------------------------------------------------------
Верно ли тождество?
(а + b) (а – b) (а2 – ab + b2) (a2 + аb + b2) = = а6 – b6
 ----------------------------------------------------------------------------------------------------
 Представить в виде квадрата суммы:
х⁴+3х²+2
 ----------------------------------------------------------------------------------------------------
Доказать, что при любом n значение выражения делится на 6:
n(n-1)-(n+3)(n+2)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Раскрыть скобки:
(3a-2b)(2a-3b)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Разложить на множители:
y²-2yz+z²
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
 Разложить на множители:
1+6k+9k²
 ----------------------------------------------------------------------------------------------------
 Разложить на множители:
a²+16a+64
 -----------------------------------------------------------------------------------------------------
Разложить на множители:
4x²-20xy+25y²
 -----------------------------------------------------------------------------------------------------
Сократить дробь
5m-10n
m²-4n²
 -----------------------------------------------------------------------------------------------------
Сократить дробь
4x²-4x+1
4x²-1
 -----------------------------------------------------------------------------------------------------
Вычислить
        1,4²-0,4²
________________ 
1,4²+2·1,4·0,4+0,4²
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Разложить
mx²-mz²
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Разложить
(k+m)²-n²
 -----------------------------------------------------------------------------------------------------
Разложить
-c²+d²
 ------------------------------------------------------------------------------------------------------
Доказать:
 (–a – b)2  = (a + b)2
 ------------------------------------------------------------------------------------------------------
Доказать:
 (a – b)2 = (b –a)2

К уроку изо. Графика








понедельник, 4 апреля 2016 г.

Алфавитная запись чисел

Алфавитная запись чисел — это система, в которой буквам обозначаются числовые значения. Как правило, первые девять букв алфавита имеют значение от 1 до 9, следующие девять — от 10 до 90, и т. д. Для очень записи больших чисел используют диакритические знаки, которые показывают что перед нами не единицы, а тысячи.

Алфавитные системы всегда были более совершенными непозиционными системами счисления. В их число входили:
  • Славянская (кириллическая);
  • Ионическая (греческая);
  • Финикийская (арабская) и многие другие.
Алфавитный способ записи чисел был предтечей позиционной системы счисления, поскольку именно в нем использовались одни и те же символы, с добавлением специальных знаков (для определения значения разряда) для обозначения единиц разных разрядов.

Вплоть до XVII века алфавитная форма записи чисел была официальной на территории многих стран, в том числе: России и Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. В России славянская нумерация сменилась «арабской нумерацией» при реформах Пертра  I. Однако в церковных книгах и писания алфавитная нумерация сохранилась и по сей день.

Итак, рассмотрим подробнее кириллическую и греческую системы алфавитной записи чисел.
Греческая запись чисел официально была принята в Александрии во времена правления Птолемея Филадельфийского. За короткий срок эта алфавитная система записи распространилась по всему миру.

Для графической записи чисел греки использовали как строчные, так и прописные буквы. Порядок записи был следующим: сотни-десятки-единицы. Различие чисел от слов текста заключалось в том, что над (или после) буквами-числами ставилась черта, так называемый числовой апостроф. Те же буквы обозначали и тысячи, и десятки тысяч, и сотни тысяч. От простых чисел они отличались тем, что числовой апостроф ставился внизу слева.
Кириллическая система записи была заимствована у греков. Как в древнем, так и в современном церковнославянском тексте числа на письме обозначаются буквами. 

Приведем примеры числовых значений славянских букв:
Единицы а в г д є s з и к
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Десятки і к л м н ? ? п ч
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Сотни р с т у ф х ? ? ц
100 200 300 400 500 600 700 800 900
Преимущественно для записи чисел славяне использовали строчные буквы. Однако встречаются тексты, в которых можно найти примеры использования прописных букв. Порядок записи был таким: сотни-десятки-единицы, но в числах, оканчивающихся на 11, 12, ..., 19, последние два знака переставляются согласно славянскому прочтению (один-на-дцать, то есть сперва «один», а потом «дцать» = 10). Для обозначения тысяч, десятков тысяч и сотен тысяч использовали те же буквы, что и для единиц, только со специальным числовым апокрифом, который назывался «титло»
Интересно отметить, что 5 первоначально обозначала буква «е», которая позже развилась в «длинный вариант» украинской буквы «є».

Для буквенного обозначения числа 6 в древности имелось два варианта: обычная буква «зело» (?) и зеркально перевернутая.
Кстати сказать, что буква «і» в числовом употреблении точек не имеет.

В самых древних кириллических текстах значение числа 90 выражалось с помощью заимствованного у греков символа «коппа».
Надо сказать, что в разные периоды истории кириллическая запись числе имела особые приметы:

  • До и после числа, а иногда и между «цифрами» ставились точки;
  • Знак титла мог ставиться над каждой буквой, либо же мог быть поставлен над все числом;
  • Большие числа (десятки тысяч, сотни тысяч) могли выражаться на письме без специального знака, а особым способом обведения числа. Каждому виду обведения соответствовал разряд чисел: сплошной кружок — десяткам тысяч («тьмам»), пунктирный — сотням тысяч («легионам»), из запятых — миллионам («леодрам»), из крестиков — десяткам миллионов («вранам») и т. п.
CD Большая энциклопедия математики, 2009

Дроби на Руси

В русском языке слово "дробь" появилось лишь в VIII веке. Происходит слово "дробь" от слова "дробить, разбивать, ломать на части". У других народов название дроби также связано с глаголами "ломать", "разбивать", "раздроблять".

В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находили следующие названия дробей на Руси:

1/2– половина, полтина, 1/3– треть,

1/4– четь, 1/6– полтреть,

1/8– полчеть, 1/2– полполтреть,

1/16– полполчеть, 1/24– полполполтреть (малая треть),

1/32– полполполчеть (малая четь), 1/5– пятина,

1/7– седьмина, 1/10– десятина.

(учебник математики 5 класс Виленкин. Мнемозина, 2008)

О применении дробей в России XVII века можно прочитать в книге В.Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики» следующее: «В рукописи XVIIв. «Статия численная о всяких долях указ «начинается прямо с письменного обозначения дробей и с указания числителя и знаменателя. При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая часть называлась четью, доли же со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием «ина», так что 1/7 – седмина, 1/5 – пятина, 1/10 – десятина; доли же со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребей», например 5/13 – пять тринадцатых жеребьёв. Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников… Числитель назывался верхним числом, знаменатель исподним». 

(Энциклопедия для детей. Том 11. Математика.  «Аванта+»,1998)

понедельник, 21 марта 2016 г.

Наука на службе импрессионистов

Импрессионизм имел научную основу. В 1839 году вышла в свет книга "О законе одновременного контраста цветов" некоего Мишеля Эжена Шеврёля, видного ученого (он изобрел стеарин, возглавлял Музей естественной истории и заведовал красильным отделом на мануфактуре Гобеленов). Однажды он задумался: почему некоторые ковры на его фабрике выглядят тусклыми, а другие, вытканные теми же нитками, поражают яркостью цветов? Вот очень коротко суть его учения: есть три основных цвета (красный, синий, желтый). При смешивании красного и синего получается фиолетовый, синий и желтый дают зеленый, желтый и красный — оранжевый (это составные цвета). Основной цвет, не входящий в составной цвет, является к нему дополнительным. Так, желтый — это дополнительный к фиолетовому, красный — к зеленому, синий — к оранжевому. Два расположенных рядом дополнительных цвета усиливают друг друга. Например, желтый и фиолетовый, расположенные рядом, кажутся ярче, а желтый и красный ослабляют друг друга. 


Прорвать плоскость. Приключения перспективы

Каждый ребенок 2—4 лет бывает озадачен этим. Вот он хочет нарисовать книгу, лежащую на столе, и добросовестно чертит на листке прямоугольник — ведь книга прямоугольная. Но книга нипочем не желает лежать, она "встает торчком". Нарисованные рельсы не уходят вдаль, а перегораживают лист бумаги, как вставшая на дыбы садовая лестница. Плоскость листа, словно стена, не пускает рисунок в глубину. 

С этой проблемой рисующее человечество столкнулось на заре своей истории. Художники Древнего Мира заполняли плоскость, а не "прорывали" ее. Плоски росписи греческих ваз, плоски фрески крито-микенской культуры. На острове Фера археологи нашли город Акротири II тысячелетия до н. э., стены домов которого покрыты изумительными картинами. Десятки фигурок причудливо расположены на плоскости стены: корабельщики гребут тяжелыми веслами, девушки несут сосуды на голове, пастухи гонят стадо, воины идут в поход, юноши ведут жертвенного быка... движение, жизнь, великолепные линии, чудесные цвета — и никакого объема! 



Византийская мозаика 

В Древнем Риме картины немного "углубляются" (но действие по-прежнему происходит на плоскости), а наследница Рима — Византия — уже забывает это открытие. Плоски Византийские фрески, плоски произведения средневековья. Замечательным примером этого могут служить книжные миниатюры Западной Европы и Древней Руси. Иллюстраторы должны были "впихнуть" в картинку не только непокорное пространство, но и время, "рассказав" на одной иллюстрации о событиях, происходящих в разные моменты. Они блестяще справились с задачей, нарисовав что-то вроде средневековых комиксов: на одной картинке изображено несколько последовательно происходящих эпизодов. Вот, например, древнерусский сборник житий святых XVI века, тот эпизод, где написано о Всемирном потопе и спасении Ноя. На одной картинке ковчег нарисован 8 раз, а Ной — три раза, потому что сцены следуют одна за другой: Ной строит ковчег, люди и звери собираются возле него, ковчег плывет по морю, ковчег выходит на сушу... 

Средневековые художники чувствовали зависимость между размером изображения и расстоянием до изображаемого предмета. Они применяли так называемую обратную перспективу: чем дальше предмет, тем крупнее он изображается. 

Так продолжалось до XV века. "Итальянские художник XV века свою главную... задачу видели в том, чтобы зрительно прорвать живописную поверхность", — пишет современный искусствовед И. Е. Данилова. По преданию, это удалось итальянскому архитектору Филиппо Брунеллески. Он сделал то, что теперь умеет каждый ребенок: стал рисовать более далекие предметы меньше размером, чем более близкие. Он "свел" параллельные прямые, сделав так, что у горизонта они стали сходиться. Словом, открыл (или изобрел?) прямую перспективу. 

Последователь Брунеллески, архитектор Альберти, разработал сложный метод геометрического построения перспективы. Математика ворвалась в живопись! С учетом ее законов живопись наконец-то приобрела объем. XV—XVI века — период увлечения перспективой, ее правильность считалась показателем мастерства художника. Не все художники того времени владели математическими тонкостями "хитроумного" метода, многие рисовали "на глазок". Другие, напротив, чрезмерно увлекались геометрией. Например, пол, вымощенный квадратными плитками, стал "визитной карточкой" того времени — ведь он так выгодно подчеркивал перспективу! 



Рафаэль. "Афинская школа" 

Объем был побежден. Но приключения перспективы на этом не кончились. Художники Возрождения стали решать другую проблему: как сделать так, чтобы нарисованные герои картины не замыкались в ней, а словно "выходили" к зрителю. Одним из первых сделал это Рафаэль: в "Афинской школе" Аристотель и Платон идут на зрителя и вот сейчас выйдут из плоскости картины. В "Сикстинской Мадонне" Мария тоже идет навстречу зрителю. Ветер раздувает складки ее покрывала, но посмотрите, этот ветер дует не из глубины, а от зрителя, из "нашего" мира в мир нарисованный. Два мира — реальный и нереальный — уже взаимодействуют! 



Рафаэль. "Сикстинская Мадонна" 

Потом с перспективой происходило еще много интересного. Но самый большой сюрприз преподнес XX век: перспектива исчезла! Не совсем, конечно, но привычное изображение объемов встало с ног на голову. Начал это Сезанн в конце XIX века ("Арлекин", "Гора св. Виктории", 1897 год, "Натюрморт: стол, бутылка и яблоки", 1902—1906 годы, "Каменоломня в Бибемусе", 1898 год и др.), продолжили Пикассо ("Герника", 1937 год), Матисс ("Красная комната", 1908 год) и другие. Каким узлом завяжет перспективу XXI век? Посмотрим. 


Что такое перспектива? 

Способ изображения объемных тел на плоскости, чтобы они казались как можно более объемными, и есть перспектива, это попытка примирения противоположностей: объема и плоскости. Перспектива бывает обратная (что дальше, то крупнее) и прямая (что дальше, то мельче). Леонардо да Винчи разработал еще воздушную перспективу — изменения четкости и цвета в зависимости от расстояния. В Китае была разработана многоплановая перспектива — все изображалось словно с высоты птичьего полета. 


Зеркало-помощник 

В XV веке существовал странный метод овладения перспективой: художник рисовал отражение прямо на поверхности зеркала! Потом переводил его на бумагу. Слов нет: картина получалась достоверная. Математик Паоло Тосканелли в 1420-е годы написал трактат о том, что зеркало — это инструмент для построения художником идеального изображения. Еще он описывал разные фокусы, например, как с помощью зеркала, укрепленного на дереве, увидеть "почти настоящего летящего дракона", изображение которого находится на земле. Интересная была книга. 


CD Загадки и  тайны старых картин. ИДДК, 2007