среда, 7 октября 2015 г.

Неравенства

Неравенство а > b: разность а -b положительна, т. е. а-b >0.
                       а < b: разность а -b отрицательна, т. е. а-b<0.
Для любых двух чисел а и b только одно из следующих трех со­отношений является верным: а>b, а = b, а<b.

Основные свойства числовых неравенств:
1.   Если а > b, то  b < а
            5 > 3,       3< 5

2.   Если а > b и b > с, то а > с.
                8 > 6 и 6 > 4, то 8 > 4.
3.   Если а> b, то а+ с>b+ с
                             a –с > b –с
               10> 7, то 10+ 3>7+ 3, 10+ m>7+ m,
                             10 –2 > 7 –2,   10 –f > 7 –f
Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный:
                             а+ с > b      →  a > b – с
                  5+6 > 8      →  5 > 8 – 6
                  d+0,3 > 4,7      →  d > 4,7 – 0,3

4.   Если а > b, то       ac  > bс  и   >      при c> 0, 
                                     ас < bc   и       при с < 0
   Если 16 > 8, то  16·2  > 8·2  и   >  
                                 (32  > 16)           (4>2)

                                  16(-2) < 8(-2) и  
                                   (-32 < -16)                ( -4<-2)
5.   если a>b и с>d, тo a + c>b + d
                                                  10> 2
                                               + 5  > 4
                                                  15> 6

6.   если а >b и с>d и а, b, с, d — положительные числа, то ac>bd.
                                                  10 > 2
                                                 · 5  > 4
                                                   50 >8
7.   а > b > 0, то    аn  > bn при любом натуральном n
                               4>3  4²>3² (16>9)

Строгие неравенства — неравенства со знаками > (больше) и < (меньше).
                                  5 > 3,           х < 1.
Нестрогие неравенства — неравенства со знаками > (больше или равно) и < (меньше или равно).
                                   а2 + b2 >b.

Неравенство с одним неизвестным - это неравенство, содержа­щее неизвестное число, обозначенное буквой.
                                      3х + 4 < 5х – 2

Решение неравенства с одним неизвестным — значение неизве­стного, при котором данное неравенство обращается в верное чис­ловое неравенство.
Например, число 3 является решением неравенства х +1 > 2 - х, так как 3+1>2-3 -верное неравенство.

Система неравенств с одним неизвестным — это несколько не­равенств, содержащих одно и то же неизвестное число и рассматри­ваемых совместно.

Решение системы неравенств — то значение неизвестного, при котором все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.
Например, число 2 является решением системы
так как 3·2 -4< 2·2 и  2 + 2> 3— верные неравенства.

Числовые промежутки — отрезки, интервалы и полуинтер­валы.
Отрезок [а; b] — множество чисел х, удовлетворяющих неравен­ству а < х < b
              [2; 5]        2 < х < 5.
Интервал (а; b) — множество чисел х:  а < х < b
              (-2; 3)        -2 < х < 3.
Полуинтервал [а; b) — множество чисел x:     а < х < b;
 полуинтервал (а; b] — множество чисел х:       а < х < b
               [3; 8)        3 < х < 8
               (-4; 2]      -4 < х < 2.

Модуль числа а:               
 |а|= 0 только при а = 0

|х| < а  (где а > 0)   -а<х<а.
|х| < а                      -а< х<а.
|х| > а                      х<-а   и  х>а.
|х| > а                      х<-а  и  х>а.


Приближенные вычисления

Абсолютная погрешность приближения — модуль разности между точным значением величины и ее приближенным значе­нием. Если а — приближенное значение, а х — точное, то абсолют­ная погрешность равна |х - а|.
Запись х = a ±h означает, что абсолютная погрешность прибли­жения не превосходит h, т. е.
|х-а|< k, или a- h< x<a + h.




Метод сложения


Этапы решения

Примеры

1. Сложить почленно уравнения системы, умножив предварительно каждое из уравнений на подхо­дящее число так, что­бы в результате сло­жения получилось одно уравнение с одним неизвестным.

 4х + 5y = 19  |·4   
 7х - 4у = -5    | ·5

  16х + 20y = 76
  35х - 20y = -25
   51х          = 51

   2ху + х2 = 2    |·3
   3ху-4х = 5   | ·(-2)

   6ху + 3х2 =6
  -6xy + 8x = -10
        3х² +8х =-4

2. Найти корень (кор­ни) этого уравнения, то есть найти значе­ние (значения) одно­го из неизвестных системы.

х=1

х1 = -2;
х2 = -2/3

3. Подставить найденное значение (значения) одного из неизвест­ных в любое из урав­нений системы: в ре­зультате снова по­лучится уравнение (уравнения) с одним неизвестным.

Подстановка в
первое уравнение дает:
4·1 + 5у = 19;
 5у = 15

Подстановка во второе урав­нение дает:
при х1= -2    6у= 3;

при х2 =-2/3   2у = - 7/3

4. Найти решение (реше­ния) этого уравнения (этих уравнений), то есть найти значе­ние (соответствую­щие значения) вто­рого неизвестного.

у = 3

у1 = 1/2;
у2 = -7/6

5. Записать ответ.
(1;3)
(-2; 1/2),  (-2/3; -7/6)

Метод подстановки


Этапы решения

Примеры

1. С помощью какого-либо из уравнений выразить одно неиз­вестное через другое.
 
   2х - у = 4
   х + 3у = 9
из первого уравнения
у = 2х - 4

    x2 +ху-у2 = 1
    х +у = 2
из второго уравнения
у = 2-х

2. Подставить найденное выражение в другое уравнение системы: в результате получится одно уравнение с од­ним неизвестным.

х + 3(2х-4) = 9;
7х = 21

х2+ х(2 -х)-(2-х)2 = 1
х 2 -6х + 5 = 0

3. Найти корень (кор­ни) этого уравнения, то есть найти значе­ние (значения) одно­го из неизвестных системы.

х = 3

х1 = 1;
х2 = 5

4. Использовать найден­ное выражение одного неизвестного через другое (подстановку), то есть найти значе­ние (соответствую­щие значения) вто­рого неизвестного.

у = 2х - 4 =
=2·3 - 4=2

у1 = 2 - х1 = 2-1 = 1;

у2 = 2 - х2 = 2-5 = -3

5. Записать ответ.

(3;2)

(1; 1), (5; -3)

Решение уравнений

Равносильные преобразования
Любой член уравнения можно переносить из одной части в другую, изменив его знак   на противоположный.
Уравнение 5x + 3 = 2x + 9 и уравнение 3x + 3 = 9 имеют одинаковое решение.
Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
Уравнение 5x + 3 = 2x + 9 и уравнение, полученное умножением его обеих частей на 4, т. е. 20x + 12 = 8x + 36 имеют одинаковое решение: х = 2.
Неравносильные преобразования
Умножение обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

Уравнение имеет корень х = −1. Если умножить обе части уравнения на (x − 1)(x − 2), то полученное уравнение будет иметь два корня: x = −1 и x = 2.
Деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.
Уравнение 
(x − 2)(x + 2) = 7(x − 2) имеет два корня: х = 2 и х = 5. Если разделить обе части на (x − 2), то получится уравнение x + 2 = 7, которое имеет только один корень: х = 5.
Возведение обеих частей уравнения в натуральную степень.
Уравнение  имеет только один корень х = 2, а уравнение 6 − x = x2 полученное возведением исходного в квадрат, имеет два корня: х = 2 и х = −3.

Уравнения

Корнем или решением уравнения называется значение неизвестного, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Например, 1 и −1 являются корнями уравнения x2 − 1 = 0.

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.
Уравнения не имеющие корней также считаются равносильными.

Для уравнения a0xn + a1xn − 1 + … + an − 1x + an = 0 число n называется степенью уравнения (при условии, что a0 ≠ 0).
Например, 4x3 + x + 8 = 0 — уравнение третьей степени,
12x100 − 13x13 + 45 = 0 — уравнение сотой степени,

x15 + 45x = x + x17 — уравнение семнадцатой степени.

Многочлены

Многочлен первой степени, т. е. многочлен вида ax + b, где a и b — заданные числа, но a ≠ 0, называется линейным многочленом.
Пример : 3x + 6, −5x − 2, 44x + 1, x − 5 — линейные многочлены.

В случае, когда многочлен имеет один член, его называют одночленом, в случае, когда многочлен содержит два или три члена, он называется двучленом или трехчленом.

x2y + y3x5 + x − 4 — многочлен, который содержит две буквы — x и y (или, как иначе говорят, является многочленом от двух переменных); многочлен x3 + y4 − 5z5 + 28 — многочлен от трех переменных — x, y и z и т. д.

Каждое слагаемое, входящее в многочлен, называется членом многочлена. Так, членами x2y + y3x5 + x − 4 являются x2y, y3x5, x, −4. 

Степенью же многочлена от нескольких переменных называется наибольшая из сумм показателей степеней одночленов данного многочлена.


Так, суммы показателей степеней одночленов для x2y + y3x5 + x − 4 равны 3 (2 + 1), 8 (3 + 5), 1 и 0. Наибольшее из этих чисел есть число 8, следовательно, степень данного многочлена от двух переменных равна 8.