среда, 7 октября 2015 г.

Метод подстановки


Этапы решения

Примеры

1. С помощью какого-либо из уравнений выразить одно неиз­вестное через другое.
 
   2х - у = 4
   х + 3у = 9
из первого уравнения
у = 2х - 4

    x2 +ху-у2 = 1
    х +у = 2
из второго уравнения
у = 2-х

2. Подставить найденное выражение в другое уравнение системы: в результате получится одно уравнение с од­ним неизвестным.

х + 3(2х-4) = 9;
7х = 21

х2+ х(2 -х)-(2-х)2 = 1
х 2 -6х + 5 = 0

3. Найти корень (кор­ни) этого уравнения, то есть найти значе­ние (значения) одно­го из неизвестных системы.

х = 3

х1 = 1;
х2 = 5

4. Использовать найден­ное выражение одного неизвестного через другое (подстановку), то есть найти значе­ние (соответствую­щие значения) вто­рого неизвестного.

у = 2х - 4 =
=2·3 - 4=2

у1 = 2 - х1 = 2-1 = 1;

у2 = 2 - х2 = 2-5 = -3

5. Записать ответ.

(3;2)

(1; 1), (5; -3)

Решение уравнений

Равносильные преобразования
Любой член уравнения можно переносить из одной части в другую, изменив его знак   на противоположный.
Уравнение 5x + 3 = 2x + 9 и уравнение 3x + 3 = 9 имеют одинаковое решение.
Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
Уравнение 5x + 3 = 2x + 9 и уравнение, полученное умножением его обеих частей на 4, т. е. 20x + 12 = 8x + 36 имеют одинаковое решение: х = 2.
Неравносильные преобразования
Умножение обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

Уравнение имеет корень х = −1. Если умножить обе части уравнения на (x − 1)(x − 2), то полученное уравнение будет иметь два корня: x = −1 и x = 2.
Деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.
Уравнение 
(x − 2)(x + 2) = 7(x − 2) имеет два корня: х = 2 и х = 5. Если разделить обе части на (x − 2), то получится уравнение x + 2 = 7, которое имеет только один корень: х = 5.
Возведение обеих частей уравнения в натуральную степень.
Уравнение  имеет только один корень х = 2, а уравнение 6 − x = x2 полученное возведением исходного в квадрат, имеет два корня: х = 2 и х = −3.

Уравнения

Корнем или решением уравнения называется значение неизвестного, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Например, 1 и −1 являются корнями уравнения x2 − 1 = 0.

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.
Уравнения не имеющие корней также считаются равносильными.

Для уравнения a0xn + a1xn − 1 + … + an − 1x + an = 0 число n называется степенью уравнения (при условии, что a0 ≠ 0).
Например, 4x3 + x + 8 = 0 — уравнение третьей степени,
12x100 − 13x13 + 45 = 0 — уравнение сотой степени,

x15 + 45x = x + x17 — уравнение семнадцатой степени.

Многочлены

Многочлен первой степени, т. е. многочлен вида ax + b, где a и b — заданные числа, но a ≠ 0, называется линейным многочленом.
Пример : 3x + 6, −5x − 2, 44x + 1, x − 5 — линейные многочлены.

В случае, когда многочлен имеет один член, его называют одночленом, в случае, когда многочлен содержит два или три члена, он называется двучленом или трехчленом.

x2y + y3x5 + x − 4 — многочлен, который содержит две буквы — x и y (или, как иначе говорят, является многочленом от двух переменных); многочлен x3 + y4 − 5z5 + 28 — многочлен от трех переменных — x, y и z и т. д.

Каждое слагаемое, входящее в многочлен, называется членом многочлена. Так, членами x2y + y3x5 + x − 4 являются x2y, y3x5, x, −4. 

Степенью же многочлена от нескольких переменных называется наибольшая из сумм показателей степеней одночленов данного многочлена.


Так, суммы показателей степеней одночленов для x2y + y3x5 + x − 4 равны 3 (2 + 1), 8 (3 + 5), 1 и 0. Наибольшее из этих чисел есть число 8, следовательно, степень данного многочлена от двух переменных равна 8.