пятница, 2 ноября 2012 г.

Лист Мёбиуса

Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана: для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. 

Если разреза́ть ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую называют «Афганская лента». Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты, намотанные друг на друга.
Если разреза́ть ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более короткая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента).
Другие комбинации лент могут быть получены из лент с двумя или более полуоборотами в них.
М. Эшер.



Август Мёбиус

17 ноября 1790 года в княжестве Шульпфорте, которое расположено вблизи Наумбурга (Саксония-Анхальт) в семье школьного учителя родился Август Мёбиус. Еще в раннем детстве Август проявил свои незаурядные способности в области математики. Обучаясь дома, мальчик проявлял наибольший интерес к занятиям математикой. Успешно закончив колледж в Шульпфорте Август Мебиус поступает в Лейбцигский университет, начинает изучать право. Однако Август Мёбиус решает всецело посвятить себя служению любимой науке — математике. На принятие столь важного решения сильное влияние оказал преподаватель Мёбиуса знаменитый астроном и математик Моллвейде.

В 1813 году Мёбиус перебирается в Гёттингене, где посещает университетские лекции по астрономии выдающегося ученого Карла Гаусса. В 1814 году Мёбиус уезжает в Халле для того, чтобы прослушать курс лекций математика Иоганна Пфаффа. Знания, почерпнутые Мёбиусом, из лекций выдающихся ученых, позволили ему достичь больших высот в математической науке.

 В 1815 году Мёбиус принимается за работу над написанием докторской диссертации, которую блестяще защищает через год. Получив докторскую степень, Мёбиус переходит на освободившуюся должность экстраординарного профессора кафедры астрономии в Лейпциге.

В 1816 году Август Мёбиус начинает работу в качестве наблюдателя в Плейсенбургской астрономической обсерватории, что близ Лейпцига. Мёбиус принимал активное участие в переустройстве обсерватории.

В 1825 году, после смерти Моллвейде, Мёбиус вступает на должность ординарного профессора астрономии. Более того, именно в этот период математические исследования Мёбиуса получают всеобщее признание и известность.

В 1848 году становится директором Плейсенбургской астрономической обсерватории.

В 1858 году Мёбиус совершает уникальное открытие. Им было установлено существование односторонних поверхностей. В доказательство Мёбиус изобретает необыкновенный лист или, как ее еще называют, ленту. Лента Мёбиуса представляет собой простейшую неориентируемую двумерную поверхность с краем, допускающую существование трёхмерного Евклидово пространства.

В научном мире Август Мёбиус известен как автор многочисленных исследовательских работ по проективной геометрии, математическому анализу и теории чисел.

Август Мёбиус был первым, кто ввел в научный обиход однородные координаты и стал использовать аналитические методы исследования в проективной геометрии. Составил новую классификацию кривых и поверхностей, сформулировал общее понятие проективного преобразования, которое впоследствии получило его имя, изучил коррелятивные преобразования.

В 1827 году Август Мёбиус написал удивительную по глубине и богатству математических идей книгу «Барицентрическое исчисление». В этом сочинении Мёбиус вводит понятие барицентрических координат точек плоскости. Позднее в 1837 году Мёбиус опубликовал свое двухтомное сочинение «Руководство по статистике. Эти книги являет собой значительное исследование проективной геометрии.

Кроме того, Мёбиус первым рассмотрел пространственные алгебраические кривые третьего порядка и подробно изучил их свойства.

В теории числе Мёбиусом была впервые выведена формула обращения, которая впоследствии была названа его именем.
(БДЭ  Математика)

Русские художники. Репин И. Е.


Р˜ЕПИН Илья Ефимович [24 июля (5 августа) 1844, Чугуев, ныне Харьковская область Украины — 29 сентября 1930, Куоккала, ныне Репино в Ленинградской области], русский художник.

Родился в семье военного поселенца, первые художественные навыки получил в местной школе военных топографов. Переехав в Петербург, с 1863 учился в рисовальной школе Общества поощрения художеств и  в Академии художеств. . В 1877 возвратился в Чугуев, затем жил в Москве и (с 1882) в Петербурге, а с 1900 — в Куоккале, в своем имении «Пенаты». Совершал неоднократные поездки по России и в зарубежные страны Европы. 
Уже религиозные картины, исполненные по академическим программам являют удивительный дар, умение подчинить все компоненты образа общей драматической задаче. В 1872 году за программную работу «Воскрешение дочери Иаира» получил Большую золотую медаль и право на 6-летнее обучение в Италии и Франции, где завершил художественное образование.


 «Бурлаки на Волге» (1870-73) тоже пишутся как академический заказ.  Картина, которая, сразу сделав молодого мастера знаменитостью, производит сенсацию. 


В 1882 году переезжает в Петербург, где становится деятельным членом Товарищества передвижных художественных выставок, к которому он примкнул с 1874 г., став одним из вождей реалистической школы живописи. На выставках товарищества появляются его картины: «Правительница Софья Алексеевна в монастыре» (1879), «Крестный ход в Курской губернии» (1883), «Не ждали» (1884), «Иван Грозный и его сын Иван» (1885).

В 1878 году, от гостя в Абрамцеве, Репин услышал рассказ украинского историка о том, как турецкий султан писал к запорожским казакам и требовал от них покорности. Ответ запорожцев был смел, дерзок, полон издёвок над султаном. Репин пришёл в восторг от этого послания и сразу сделал карандашный эскиз. После этого он постоянно возвращался к этой теме, работая над картиной более десяти лет. Она была закончена только в 1891 году.
Казаки пишут письмо турецкому султану (Русский музей)


В 1901 году художник получает правительственный заказ: написать торжественное заседание Государственного Совета в день столетнего юбилея. Грандиозное многофигурное полотно (35 м²) «Торжественное заседание Государственного Совета 7 мая 1901 года» (1901—1903), в исполнении которого принимали участие Б. М. Кустодиев и И. С. Куликов, было написано в течение двух лет. На парадном портрете изображено более восьмидесяти человек — сановников Государственного Совета, во главе с царём и членами царствующего дома. К картине Репин написал пятьдесят этюдов-портретов и эскизы.


Заседание государственного совета (Русский Музей)


Чрезвычайно важную часть репинского наследия составляют его портреты.


 В 1917 Репин пишет новый вариант «Бурлаков» под названием «Быдло империализма» (Азербайджанский музей искусств имени Р. Мустафаева, Баку), тем самым как бы приветствуя революцию. Однако, отъединенный от Советской России (когда Финляндия обрела независимость) в своих «Пенатах», он затем неоднократно выражал неприятие нового режима.
Несмотря на приглашения на самом высоком официальном уровне Репин в итоге так и не возвращается на родину, хотя дарит в советские музеи свои картины, поддерживает связи с учениками и друзьями .
Художник скончался 29 сентября 1930 года в Куоккале, где и был похоронен в парке своих любимых «Пенат».


четверг, 1 ноября 2012 г.

Муха. Ноябрь


Квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба


КВАДРАТУРА КРУГА - задача о построении квадрата, равновеликого данному кругу. Под квадратурой круга понимают  как задачу точного построения квадрата, равновеликого кругу, так и задачу вычисления площади круга с тем или иным приближением. Задачу о  пытались решить первоначально с помощью циркуля и  линейки. Математика древности знала ряд случаев, когда с помощью этих инструментов удавалось преобразовать криволинейную фигуру в равновеликую ей прямолинейную (напр., Гиппократовы луночки). 
Попытки решения задачи, продолжавшиеся в течение тысячелетий, неизменно оканчивались неудачей. С 1775 Парижская Академия Наук, а затем и другие академии стали отказываться от рассмотрения  работ, посвящённых квадратуре. Лишь в 19 в. было дано научное обоснование этого отказа: строго установлена  неразрешимость задачи с помощью циркуля и линейки.

ТРИСЕКЦИЯ УГЛА (от лат. tri-, в сложных словах - три и sectio - разрезание, рассечение), задача о разделении угла на три равные части. Сыграла большую роль в развитии математических  методов. Первоначально решение стремились найти с помощью простейших геометрических средств - циркуля и линейки (без делений, рассматриваемой как инструмент для проведения прямых линий), что удавалось, однако, лишь в отдельных случаях (напр., для углов в 90° и 90°/2n, где n - натуральное число). 
Строгое доказательство невозможности точной трисекции в общем случае с помощью циркуля и линейки (т. е. неразрешимости в квадратичных радикалах кубического уравнения, к которому сводится трисекция) дано лишь в 19 в. 
Задача становится разрешимой, если для неё расширить средства построения. Так, в сочинениях Архимеда (3 в. до н. э.) трисекция производится с помощью приёма "вставки", осуществляемого циркулем и линейкой с делениями. 

УДВОЕНИЕ КУБА, классическая задача древности о построении куба, имеющего объём вдвое больший,чем данный куб. Задачу нередко наз. делийской (иногда - делосской) задачей, по преданию, для избавления от эпидемии на острове Делос (Эгейское море) оракул потребовал вдвое увеличить кубический жертвенник, не меняя его формы. Задача сводится к построению отрезка, численно равного квадратному корню из 2, что (как доказано в 19 в.) не может быть выполнено при помощи только циркуля и линейки. Задача становится разрешимой, если для её решения привлечь конические сечения.

Гиппократовы луночки

Гиппокра́товы лу́ночки — серповидные фигуры, указанные Гиппократом Хиосским, ограниченные дугами двух окружностей. Их особенность состоит в том, что эти фигуры можно квадрировать, то есть с помощью циркуля и линейки можно построить равновеликие им прямоугольники. Гиппократ надеялся на этом пути решить проблему «квадратуры круга», однако существенного прогресса не добился
Гиппократ Хиосский (Hippokrates) (2-я пол. 5 в. дон. э.), древнегреческий геометр, автор первого систематического сочинения по геометрии (не дошедшего до нас), которое, вероятно, охватывало материал первых 4 книг Начал Евклида.