Неравенства

Неравенство а > b: разность а -b положительна, т. е. а-b >0.

                       а < b: разность а -b отрицательна, т. е. а-b<0.

Для любых двух чисел а и b только одно из следующих трех со­отношений является верным: а>b, а = b, а<b.

Основные свойства числовых неравенств:

1.   Если а > b, то  b < а

            5 > 3,       3< 5

2.   Если а > b и b > с, то а > с.

                8 > 6 и 6 > 4, то 8 > 4.

3.   Если а> b, то а+ с>b+ с

                             a –с > b –с

               10> 7, то 10+ 3>7+ 3, 10+ m>7+ m,

                             10 –2 > 7 –2,   10 –f > 7 –f

Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный:

                             а+ с > b      →  a > b – с

                  5+6 > 8      →  5 > 8 – 6

                  d+0,3 > 4,7      →  d > 4,7 – 0,3

4.   Если а > b, то       ac  > bс  и   >      при c> 0, 

                                     ас < bc   и       при с < 0

   Если 16 > 8, то  16·2  > 8·2  и   >  

                                 (32  > 16)           (4>2)

                                  16(-2) < 8(-2) и  

                                   (-32 < -16)                ( -4<-2)

5.   если a>b и с>d, тo a + c>b + d

                                                  10> 2

                                               + 5  > 4

                                                  15> 6

6.   если а >b и с>d и а, b, с, d — положительные числа, то ac>bd.

                                                  10 > 2

                                                 · 5  > 4

                                                   50 >8

7.   а > b > 0, то    аⁿ  > bⁿ при любом натуральном n

                               4>3  → 4²>3² (16>9)

Строгие неравенства — неравенства со знаками > (больше) и < (меньше).

                                  5 > 3,           х < 1.

Нестрогие неравенства — неравенства со знаками > (больше или равно) и < (меньше или равно).

                                   а² + b² > 2аb.

Неравенство с одним неизвестным - это неравенство, содержа­щее неизвестное число, обозначенное буквой.

                                      3х + 4 < 5х – 2

Решение неравенства с одним неизвестным — значение неизве­стного, при котором данное неравенство обращается в верное чис­ловое неравенство.

Например, число 3 является решением неравенства х +1 > 2 - х, так как 3+1>2-3 -верное неравенство.

Система неравенств с одним неизвестным — это несколько не­равенств, содержащих одно и то же неизвестное число и рассматри­ваемых совместно.

Решение системы неравенств — то значение неизвестного, при котором все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.

Например, число 2 является решением системы

так как 3·2 -4< 2·2 и  2 + 2> 3— верные неравенства.

Числовые промежутки — отрезки, интервалы и полуинтер­валы.

Отрезок [а; b] — множество чисел х, удовлетворяющих неравен­ству а < х < b

              [2; 5]        2 < х < 5.

Интервал (а; b) — множество чисел х:  а < х < b

              (-2; 3)        -2 < х < 3.

Полуинтервал [а; b) — множество чисел x:     а < х < b;

 полуинтервал (а; b] — множество чисел х:       а < х < b

               [3; 8)        3 < х < 8

               (-4; 2]      -4 < х < 2.

Модуль числа а:               

 |а|= 0 только при а = 0

|х| < а  (где а > 0)   -а<х<а.

|х| < а                      -а< х<а.

|х| > а                      х<-а   и  х>а.

|х| > а                      х<-а  и  х>а.

Приближенные вычисления

Абсолютная погрешность приближения — модуль разности между точным значением величины и ее приближенным значе­нием. Если а — приближенное значение, а х — точное, то абсолют­ная погрешность равна |х - а|.

Запись х = a ±h означает, что абсолютная погрешность прибли­жения не превосходит h, т. е.

|х-а|< k, или a- h< x<a + h.