пятница, 28 июня 2013 г.

Диофантовы уравнения

Диофантовыми уравнениями называют  алгебраические уравнения или системы  алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или  рациональные решения. При этом число  неизвестных в уравнениях должно быть не  менее двух (если не ограничиваться только целыми числами). Диофантовы уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями.
Это, например, уравнения:
Зх + 5у = 7;
X^2+y^2 = z^2;
Зх^3 + 4у^3 = 5z^3.
Названы они по имени греческого  математика Диофанта, жившего в III в. Его книга «Арифметика» содержала большое  количество интересных задач, ее изучали  математики всех поколений. Книга сохранилась до  наших дней, ее можно найти в русском переводе в библиотеке.
Задачи поиска целочисленных и  рациональных решений обычно тесно связаны  между собой. Легко сообразить, какая связь есть между целочисленными решениями уравнения
К диофантовым уравнениям приводят  задачи, по смыслу которых неизвестные значения величин могут быть только целыми числами. Решение уравнений в целых числах  - очень увлекательная задача. С древнейших времен накопилось много способов решения  конкретных диофантовых уравнений, однако только в нашем веке появились общие  приемы их исследования. Правда, линейные диофантовы уравнения и диофантовы уравнения 2-й степени научились решать давно.
Так, легко доказать, что по формулам х = 4 + 5г, у = — 1 — Зг (г-любое целое число) находятся все целочисленные решения  уравнения Зх + 5у = 7. Формулы для нахождения  целочисленных сторон прямоугольного  треугольника (т. е. для решения уравнения х^2 + у^2 = z^2) были известны еще древним  индийцам .
Решения диофантовых уравнений более  высоких степеней, а также систем уравнений  давались с большим трудом. Знаменитое  уравнение П. Ферма, которое более трехсот лет назад он написал на полях «Арифметики» Диофанта, х^n + у^n = z^n (n > 2) не решено до сих пор .
Даже при n = 3 диофантовы уравнения  поддаются решению с большим трудом, причем ответы могут быть совершенно разными. Так, уравнение Зх^3 + 4у^3 = 5z^3 совсем не имеет  решений в целых числах, кроме нулевого. 
Правда, оказалось, что кубические  уравнения стоят в некотором смысле особняком. В 20-е гг. нашего века английский математик Е. И. Морделл высказал гипотезу, что  уравнение более высокой степени, чем 3, должно иметь, как правило, конечное число  целочисленных решений. Эта гипотеза была в 1983 г. доказана голландским математиком Г. Фалтингсом. Тем самым подтвердилось, что  уравнение Ферма при всяком n > 2 имеет лишь конечное число решений в целых числах (без общих множителей). Однако пока нет способа найти эти решения.
Долгое время надеялись отыскать общий способ решения любого диофантова  уравнения. Однако в 1970 г. ленинградский  математик Ю. В. Матиясевич доказал, что такого  общего способа быть не может.
Решение уравнений в целых числах - один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошел мимо теории диофантовых уравнений. Ферма, Эйлер и Лагранж, Дирихле и Гаусс, Чебышев и Риман оставили неизгладимый след в этой  интереснейшей теории.


Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика, 1989

Комментариев нет:

Отправить комментарий