вторник, 13 февраля 2018 г.

Сверление квадратных отверстий

С тем, чтобы получить круглое отверстие, как правило, никаких проблем не возникает. А вот что делать, если отверстие должно быть квадратным? В этом случае нам на помощь придет тот самый круглый треугольник Рело, о котором уже было рассказано в соответствующей статье этого же раздела.

Итак, для получения квадратного отверстия необходимо, прежде всего, выбрать определенную траекторию, по которой будет перемещаться центр сверла с сечением, представляющим собой треугольник Рело. Для этого необходимо построить четыре одинаковые дуги эллипсов, центры которых будут находиться в вершинах квадрата. Необходимо обязательно проследить за тем, чтобы полуоси были повернуты на 45-градусный угол по отношению к сторонам квадрата. Для полуосей предусмотрена специальная формула k(1+1/?3)/2 и k(1-1/?3)/2 (k - длина стороны квадрата).
Итак, траектория выбрана. В тот момент, когда центр нашего треугольника будет двигаться по ней, его вершины позволят получить квадрат с идеально прямыми сторонами, но со слегка скругленными углами (абсолютный квадрат получится, если скругленные уголки с помощью специальных инструментов сделать прямыми).
Осталось дело за малым - получить сверло, сечение которого представляло бы собой треугольник Рело с режущими кромками, совпадающими с его вершинами. Однако из-за того, что трактория центра сверла, состоящая из четырех эллиптических дуг, не является идеальной окружностью, а лишь напоминает ее, сверление может быть существенно затруднено. Но нет проблем, которые нельзя было бы решить, использовав собственную смекалку, находчивость и опыт предыдущих поколений! В хорошо закрепленную на дрели квадратную направляющую рамку помещается треугольник Рело, к которому, в свою очередь, прочно крепится сверло. Вращаясь, патрон дрели с помощью карданного вала передаст свое вращение и удивительному  треугольнику, в результате чего получается квадратное отверстие.




воскресенье, 28 января 2018 г.

Перельман

В 2006 году был составлен список 100 великих гениев современности. Девятую строчку в рейтинге ныне живущих гениев занимает Григорий Яковлевич Перельман. Жизнь признанного гения полная тайн и загадок.

Родился Григорий Перельман 13 июня 1966 года в Ленинграде. Увлечение точными науками и незаурядные способности Гриша Перельман проявил еще в раннем возрасте. С отличием закончил знаменитую своими выпускниками 239-ю школу с углубленным изучением математики. Учась в школе, Григорий Перельман не раз становился победителем математических олимпиад. В 1982 году в составе команды советских школьников принял участие в Международной математической олимпиаде, проходившей в Будапеште. Завоеванная на Международной математической олимпиаде золотая медаль позволила Григорию Перельману поступить без экзаменов на механико-математический факульетет Лениградского университета.

В течение всего срока обучения в университете Перельман получал только «отлично». Окончив университет с красным дипломом, Перельман решает продолжить научную деятельность и поступает в аспирантуру при Петербургском отделении Математического института имени В. А. Стеклова. Научную деятельность Перельман начал под руководством известного математика и академика Александровна.

После блестящей защиты кандидатской диссертации Григорий Перельман начинает преподавательскую деятельность в институте и в лаборатории геометрии и топологии.

В это время Перельман публикует свои работы по теории пространств Александрова, в которых он сумел доказать ряд важных гипотез. Став известным в научном мире Перельман получает многочисленные предложения от ведущих западных университетов, однако все их отвергает, предпочитая работать на родине.

Всемирную известность и ошеломительный успех пришел к Перельману в 2002 году, когда он опубликовал доказательство знаменитой гипотезы Пуанкаре, мучавшей умы ученых на протяжении ста лет. Сформулированная в 1904 году задача Перельмана считалась недоказуемой.

В течение восьми лет напряженной работы Перельман доказал величайшую математическую загадку. Достижение Григория Перельмана стало важнейшим достижением математической науки двадцать первого века. Решение задачи Пуанкаре является поворотным моментом в развитии исследований проблем физико-математических основ мироздания.

Институт математики Клея в Кембридже, штат Массачусетс, США учредил премию в миллион доллар за решение одной из семи сложнейших нерешенных математических проблем тысячелетия, среди которых была и задача Пуанкаре.

Интересно узнать, что задача французского математика Анри Пуанкаре была сформулирована так: любое замкнутое односвязное трехмерное пространство гомеоморфно трехмерной сфере. Чтобы эта гипотеза была ясна, Пуанкаре приводит пояснение: если обмотать яблоко резиновой лентой, то в принципе, стягивая ленту, можно сжать яблоко в точку. Если же обмотать такой же лентой бублик, то в точку его сжать нельзя без разрыва или бублика, или резины. Таким образом, яблоко представляет собой «односвязную» фигуру, а бублик — «не односвязным». То есть Пуанкаре предположил, что трехмерная сфера также как и двумерная сфера односвязна.

Доказательство Перельмана в течение двух лет тщательно проверялось лучшими математиками мира. Авторитетное мнение ученых подтвердило верность расчетов Перельмана, за что он был награжден медалью Филдса. Эта премия престижна так же, как и Нобелевская.

Однако, Григорий Перельман отказался от всяческих почестей и наград, считая их пустой суетой. Это событие породило многочисленные слухи, которые весьма далеки от правды. Некоторые утверждают, что Перельман собирается уйти из большой науки, тем более, что некоторое время назад он уволился из Математического института им. Стеклова. Кто-то считает, что Перельман занялся решением очередной сложной математической задачи и для этого уединился в собственном доме.

Однако все это лишь домыслы и слухи общества. Да и стоит ли нам пытаться объяснять поступки столь яркого, неординарного и выдающегося ученого, сумевшего разрешить гипотезу Пуанкаре. Все ученые умы мира единодушно ставят Георгия Перельмана в ряд величайших гениев прошлого и настоящего.



Топология

От древнегреческих слов τόπος — место и λόγος — слово, учение происходит математический термин топология. Топология — раздел геометрии, предметом изучения которого является явление непрырывности, в частности, свойства пространства, к примеру, связность, ориентируемость, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях.

Зародилась топология на рубеже XIX-XX веков. Первые работы по топологии были написаны Эйлером, Жорданом, Кантором и Пуанкаре. Первое время топологию называли геометрией размещения или анализом размещения. Начиная с 1925 по 1975 годы, топология являлась одним из важнейших направлений развития математической науки. В самостоятельную математическую науку топология превратилась в середине XX в. Основные постулаты топологии были заложены в работах таких известных ученых, как Хаусдорф, Пуанкаре, Александров, Урысон, Брауэр.

Семь мостов Кёнигсберга — одна из первых задач топологии, рассмотренная Эйлером.

Общая топология или теоретико-множественная топология — раздел топологии, изучающий непрерывности в чистом виде, занимающийся исследованием фундаментальных вопросов топологии, к примеру связность и компактность.
Алгебраическая топология — раздел, изучающий непрерывности алгебраических объектов типа гомотопических групп и гомологии.
Дифференциальная топология — раздел топологии, в котором изучаются гладкие многообразия с точностью до диффеоморфизма, а также из включения в другие многообразия. Дифференциальная топология имеет два подраздела: маломерная топология и теория узлов. 

В отличие от геометрии, топология не рассматривает метрические свойства объектов. Таким образом, с точки зрения топологии круг и бублик неотличимы.

Для топологии очень важны понятия геоморфизма и гомотопии. В широком смысле эти понятия обозначают разного рода деформации, происходящие без разрывов и склеиваний. В более узком смысле топологией или топологической структурой называется конкретный объект как совокупность всех открытых множеств, использующихся в определении топологического пространства.
Таким образом, топология объекта — это то, что остается неизменным при непрерывных деформациях.